Задача 67. Решите неравенство \(\dfrac{4}{3}\log _3^2{\left( {5x-6} \right)^3}-{\log _3}{\left( {5x-6} \right)^3} \cdot {\log _3}{x^6} \le -6\,\,\log _3^2\dfrac{1}{x}\).
ОТВЕТ: \(\left[ {1,44;\,\,1,5} \right].\)
\(\dfrac{4}{3}\log _3^2{\left( {5x-6} \right)^3}-{\log _3}{\left( {5x-6} \right)^3} \cdot {\log _3}{x^6} \le -6\,\,\log _3^2\dfrac{1}{x}.\) Запишем ОДЗ: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}{{{\left( {5x-6} \right)}^3} > 0,\,}\\{{x^6} > 0,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\end{array}}\\{\dfrac{1}{x} > 0\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{5x-6 > 0,}\\{x > 0\;\;\;\;\;\;\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x > \dfrac{6}{5}.\) \(\dfrac{4}{3}\log _3^2{\left( {5x-6} \right)^3}-{\log _3}{\left( {5x-6} \right)^3} \cdot {\log _3}{x^6} \le -6\,\,\log _3^2\dfrac{1}{x}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;12\log _3^2\left( {5x-6} \right)-18{\log _3}\left( {5x-6} \right) \cdot {\log _3}\left| x \right| \le -6\,\,\log _3^2x.\) Так как \(x > 0,\) то \({\log _3}\left| x \right| = {\log _3}x.\) Тогда полученное неравенство примет вид: \(12\log _3^2\left( {5x-6} \right)-18{\log _3}\left( {5x-6} \right) \cdot {\log _3}x \le -6\,\,\log _3^2x\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;2\log _3^2\left( {5x-6} \right)-3{\log _3}\left( {5x-6} \right) \cdot {\log _3}x + \,\,\log _3^2x \le 0\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;2\log _3^2\left( {5x-6} \right)-2{\log _3}\left( {5x-6} \right) \cdot {\log _3}x + \,\,\log _3^2x-{\log _3}\left( {5x-6} \right) \cdot {\log _3}x \le 0\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;2{\log _3}\left( {5x-6} \right)\, \cdot \left( {{{\log }_3}\left( {5x-6} \right)-{{\log }_3}x} \right)-{\log _3}x \cdot \left( {{{\log }_3}\left( {5x-6} \right)-{{\log }_3}x} \right) \le 0\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {{{\log }_3}\left( {5x-6} \right)-{{\log }_3}x} \right)\left( {2{{\log }_3}\left( {5x-6} \right)-{{\log }_3}x} \right) \le 0.\) Решим полученное неравенство методом интервалов при условии, что \(x > \dfrac{6}{5}\): \( \left( {{{\log }_3}\left( {5x-6} \right)-{{\log }_3}x} \right)\left( {2{{\log }_3}\left( {5x-6} \right)-{{\log }_3}x} \right) = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\log }_3}\left( {5x-6} \right) = {{\log }_3}x,\,\;}\\{2{{\log }_3}\left( {5x-6} \right) = {{\log }_3}x}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{5x-6 = x\;\;\;\,\,}\\{{{\left( {5x-6} \right)}^2} = x}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{4x-6 = 0,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\,}\\{25{x^2}-61x + 36 = 0}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1,5,\;\,}\\{\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1,\;\;\;\;\;}\\{x = 1,44.}\end{array}}\end{array}} \right.\) Таким образом, решением исходного неравенства является: \(x \in \left[ {1,44;\,\,1,5} \right].\) Ответ: \(\left[ {1,44;\,\,1,5} \right].\) 