Задача 68. Решите неравенство \({\left| {\,\dfrac{{27 + x}}{{18 + x}}-1\,} \right|^{\;{{\log }_{\dfrac{1}{3}}}\left| {\,2 + \dfrac{x}{9}\,} \right|}} \le 81\).
ОТВЕТ: \(\left[ {\,-99\,;-19\,} \right] \cup \left[ {\,-17;\,\,63\,} \right].\)
\({\left| {\,\dfrac{{27 + x}}{{18 + x}}-1\,} \right|^{\;{{\log }_{\dfrac{1}{3}}}\left| {\,2 + \dfrac{x}{9}\,} \right|}} \le 81.\) Запишем ОДЗ: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left| {2 + \dfrac{x}{9}} \right| > 0,}\\{18 + x \ne 0,\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left| {\dfrac{{x + 18}}{9}} \right| > 0,}\\{x \ne -18\;\;\;\;\,\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\,\;\;x\, \in \,\left( {-\infty ;-18} \right) \cup \left( {-18;\infty } \right).\) \({\left| {\dfrac{{27 + x}}{{18 + x}}-1} \right|^{{{\log }_{\dfrac{1}{3}}}\left| {2 + \dfrac{x}{9}} \right|}} \le 81\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{\left| {\dfrac{9}{{x + 18}}} \right|^{-{{\log }_3}\left| {\dfrac{{x + 18}}{9}} \right|}} \le 81\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{\log _3}{\left| {\dfrac{{x + 18}}{9}} \right|^{{{\log }_3}\left| {\dfrac{{x + 18}}{9}} \right|}} \le {\log _3}81\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;{\log _3}\left| {\dfrac{{x + 18}}{9}} \right| \cdot {\log _3}\left| {\dfrac{{x + 18}}{9}} \right| \le 4\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\log _3^2\left| {\dfrac{{x + 18}}{9}} \right| \le 4\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;-2 \le {\log _3}\dfrac{{\left| {x + 18} \right|}}{9} \le 2\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;{\log _3}\dfrac{1}{9} \le {\log _3}\dfrac{{\left| {x + 18} \right|}}{9} \le {\log _3}9\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\dfrac{1}{9} \le \dfrac{{\left| {x + 18} \right|}}{9} \le 9\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;1 \le \left| {x + 18} \right| \le 81\;\,\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left| {x + 18} \right| \le 81,}\\{\left| {x + 18} \right| \ge 1\,\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{-81 \le x + 18 \le 81,}\\{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + 18 \le -1,}\\{x + 18 \ge 1\;\;}\end{array}\;\;\;\;\;\;\;} \right.}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{-99 \le x \le 63,}\\{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \le -19,}\\{x \ge -17.}\end{array}\;\;\;\;\;\;} \right.}\end{array}} \right.\) Найдём общее решение полученной системы: Таким образом, решением исходного неравенства является: \(x \in \left[ {\,-99\,;-19\,} \right] \cup \left[ {\,-17;\,\,63\,} \right].\) Ответ: \(\left[ {\,-99\,;-19\,} \right] \cup \left[ {\,-17;\,\,63\,} \right].\) 