Задача 69. Решите неравенство \({\log _{3{x^2}}}\left( {9{x^5}} \right)-\log _3^2x \le 2\).
ОТВЕТ: \(\left( {0;\dfrac{1}{3}} \right] \cup \left( {\dfrac{{\sqrt 3 }}{3};\,1} \right] \cup \left[ {\sqrt 3 ;\,\,\infty } \right).\)
\({\log _{3{x^2}}}\left( {9{x^5}} \right)-\log _3^2x \le 2.\) Запишем ОДЗ: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{9{x^5} > 0,}\\{x > 0,\;\;\;}\\{3{x^2} > 0,}\\{3{x^2} \ne 1\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x > 0,\;\;\;\;\;\;}\\{x \ne \pm \dfrac{{\sqrt 3 }}{3}.}\end{array}} \right.\) Воспользуемся свойством перехода к новому основанию: \({\log _a}b = \dfrac{{{{\log }_c}b}}{{{{\log }_c}a}}.\) Тогда исходное неравенство примет вид: \(\dfrac{{{{\log }_3}\left( {9{x^5}} \right)}}{{{{\log }_3}\left( {3{x^2}} \right)}}-\log _3^2x \le 2\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\dfrac{{2 + 5{{\log }_3}x}}{{1 + 2{{\log }_3}\left| x \right|}}-\log _3^2x \le 2.\) Так как \(x > 0,\) то \({\log _3}\left| x \right| = {\log _3}x.\) Тогда полученное неравенство примет вид: \(\dfrac{{2 + 5{{\log }_3}x}}{{1 + 2{{\log }_3}x}}-\log _3^2x \le 2.\) Пусть \({\log _3}x = t.\) Тогда полученное неравенство примет вид: \(\dfrac{{2 + 5t}}{{1 + 2t}}-{t^2} \le 2\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\dfrac{{2 + 5t-{t^2}-2{t^3}-2-4t}}{{1 + 2t}} \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\dfrac{{2{t^3} + {t^2}-t}}{{1 + 2t}} \ge 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\dfrac{{t\left( {2{t^2} + t-1} \right)}}{{1 + 2t}} \ge 0\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\dfrac{{t\left( {t + 1} \right)\left( {2t-1} \right)}}{{1 + 2t}} \ge 0.\) Решим полученное неравенство методом интервалов: \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}{t \le -1,\;\;\;\;\;\,\;}\\{-\dfrac{1}{2} < t \le 0,}\end{array}}\\{t \ge \dfrac{1}{2}\;\;\;\;\;\,\;\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}{{{\log }_3}x \le -1,\;\;\;\,\;\;\;}\\{-\dfrac{1}{2} < {{\log }_3}x \le 0,}\end{array}}\\{{{\log }_3}x \ge \dfrac{1}{2}\;\;\;\;\,\;\;\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}{{{\log }_3}x \le {{\log }_3}\dfrac{1}{3},\;\;\;\,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{{{\log }_3}\dfrac{{\sqrt 3 }}{3} < {{\log }_3}x \le {{\log }_3}1,}\end{array}}\\{{{\log }_3}x \ge {{\log }_3}\sqrt 3 \;\;\,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}{0 < x \le \dfrac{1}{3},\;\;}\\{\dfrac{{\sqrt 3 }}{3} < x \le 1,}\end{array}}\\{x \ge \sqrt 3 \;\;\;\;\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \,\;\;\;x \in \left( {0;\dfrac{1}{3}} \right] \cup \left( {\dfrac{{\sqrt 3 }}{3};\,1} \right] \cup \left[ {\sqrt 3 ;\,\,\infty } \right).\) Ответ: \(\left( {0;\dfrac{1}{3}} \right] \cup \left( {\dfrac{{\sqrt 3 }}{3};\,1} \right] \cup \left[ {\sqrt 3 ;\,\,\infty } \right).\) 