Задача 70. Решите неравенство \({x^{{{\log }_{\,3}}x}}-2 \le {\left( {\sqrt[3]{3}} \right)^{\log _{\sqrt 3 }^2x}}-2 \cdot {x^{{{\log }_3}\sqrt[3]{x}}}\).
ОТВЕТ: \(\left( {0;\,\,{3^{-\,\sqrt {{{\log }_3}2} }}} \right] \cup \left\{ 1 \right\} \cup \left[ {{3^{\,\sqrt {{{\log }_3}2} }};\,\,\infty } \right).\)
\({x^{{{\log }_{\,3}}x}}-2 \le {\left( {\sqrt[3]{3}} \right)^{\log _{\sqrt 3 }^2x}}-2 \cdot {x^{{{\log }_3}\sqrt[3]{x}}}.\) Запишем ОДЗ: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x > 0,\;\;}\\{\sqrt[3]{x} > 0}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x > 0.\) \({x^{{{\log }_{\,3}}x}}-2 \le {\left( {\sqrt[3]{3}} \right)^{\log _{\sqrt 3 }^2x}}-2 \cdot {x^{{{\log }_3}\sqrt[3]{x}}}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{x^{{{\log }_{\,3}}x}}-2-{3^{\frac{4}{3}\log _3^2x}} + 2 \cdot {x^{\frac{1}{3}{{\log }_3}x}} \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;{x^{{{\log }_{\,3}}x}}-2-{\left( {{3^{{{\log }_3}x}}} \right)^{\frac{4}{3}{{\log }_3}x}} + 2 \cdot {x^{\frac{1}{3}{{\log }_3}x}} \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{x^{{{\log }_{\,3}}x}}-2-{x^{\frac{4}{3}{{\log }_3}x}} + 2 \cdot {x^{\frac{1}{3}{{\log }_3}x}} \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;{x^{{{\log }_{\,3}}x}}-2-{x^{\frac{1}{3}{{\log }_3}x}}\left( {{x^{{{\log }_3}x}}-2} \right) \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {1-{x^{\frac{1}{3}{{\log }_3}x}}} \right)\left( {{x^{{{\log }_3}x}}-2} \right) \le 0.\) Решим полученное неравенство методом интервалов при условии, что \(x > 0\): \(\left( {1-{x^{\frac{1}{3}{{\log }_3}x}}} \right)\left( {{x^{{{\log }_3}x}}-2} \right) = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\,\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^{\frac{1}{3}{{\log }_3}x}} = 1,}\\{{x^{{{\log }_3}x}} = 2\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\log }_3}{x^{\frac{1}{3}{{\log }_3}x}} = {{\log }_3}1,}\\{{{\log }_3}{x^{{{\log }_3}x}} = {{\log }_3}2\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{1}{3}\log _3^2x = 0,\;\;\,}\\{\log _3^2x = {{\log }_3}2}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\log }_3}x = 0,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\\{{{\log }_3}x = \pm \sqrt {{{\log }_3}2} }\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\,\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1,\;\;\;\;\,\;\;\;\,}\\{x = {3^{ \pm \sqrt {{{\log }_3}2} }}.}\end{array}} \right.\) Таким образом, решением исходного неравенства является: \(x \in \left( {0;\,\,{3^{-\,\sqrt {{{\log }_3}2} }}} \right] \cup \left\{ 1 \right\} \cup \left[ {{3^{\,\sqrt {{{\log }_3}2} }};\,\,\infty } \right).\) Ответ: \(\left( {0;\,\,{3^{-\,\sqrt {{{\log }_3}2} }}} \right] \cup \left\{ 1 \right\} \cup \left[ {{3^{\,\sqrt {{{\log }_3}2} }};\,\,\infty } \right).\) 