Задача 71. Решите неравенство \(\dfrac{9}{{3 + {{\log }_3}x \cdot {{\log }_3}\dfrac{9}{x}}} \le \log _3^2x-{\log _3}\dfrac{{{x^2}}}{{27}}\).
ОТВЕТ: \(\left( {0;\dfrac{1}{3}} \right) \cup \left\{ {1;9} \right\} \cup \left( {27; + \infty } \right).\)
\(\dfrac{9}{{3 + {{\log }_3}x \cdot {{\log }_3}\frac{9}{x}}} \le \log _3^2x-{\log _3}\dfrac{{{x^2}}}{{27}}.\) Запишем ограничения на подлогарифмические выражения: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x > 0,\;\;\,}\\{\begin{array}{*{20}{c}}{\dfrac{9}{x} > 0,\;\;}\\{\dfrac{{{x^2}}}{{27}} > 0,}\end{array}}\end{array}} \right.\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x > 0.\) \(\dfrac{9}{{3 + {{\log }_3}x \cdot {{\log }_3}\dfrac{9}{x}}} \le \log _3^2x-{\log _3}\dfrac{{{x^2}}}{{27}}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\,\dfrac{9}{{3 + {{\log }_3}x \cdot \left( {{{\log }_3}9-{{\log }_3}x} \right)}} \le \log _3^2x-{\log _3}{x^2} + {\log _3}27\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\,\dfrac{9}{{3 + 2{{\log }_3}x-\log _3^2x}} \le \log _3^2x-2{\log _3}\left| x \right| + 3.\) Так как \(x > 0,\) то \(\left| x \right| = x.\) Тогда полученное неравенство примет вид: \(\dfrac{9}{{3 + 2{{\log }_3}x-\log _3^2x}} \le \log _3^2x-2{\log _3}x + 3.\) Пусть \(\log _3^2x-2{\log _3}x = t.\) Тогда: \(\dfrac{9}{{3-t}} \le t + 3\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\dfrac{{{t^2}}}{{t-3}} \ge 0.\) Решим полученное неравенство методом интервалов: Следовательно, \(t \in \left\{ 0 \right\} \cup \left( {3;\,\infty } \right).\) Вернёмся к прежней переменной: \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = 0,}\\{t > 3\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\log _3^2x-2{{\log }_3}x = 0,}\\{\log _3^2x-2{{\log }_3}x > 3.}\end{array}} \right.\) Решим уравнение совокупности: \(\log _3^2x-2{\log _3}x = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{\log _3}x\left( {{{\log }_3}x-2} \right) = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\log }_3}x = 0,}\\{{{\log }_3}x = 2\;}\end{array}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;} \right.\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1,}\\{x = 9.}\end{array}} \right.\) Решим неравенство совокупности: \(\log _3^2x-2{\log _3}x > 3.\) Пусть \({\log _3}x = y.\) Тогда: \({y^2}-2y-3 > 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {y-3} \right)\left( {y + 1} \right) > 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{y < -1,}\\{y > 3.\;\,}\end{array}} \right.\) Вернёмся к прежней переменной: \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\log }_3}x < -1,}\\{{{\log }_3}x > 3\;\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{0 < x < \dfrac{1}{3},}\\{x > 27\;\;\;\;\;}\end{array}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x \in } \right.\left( {0;\dfrac{1}{3}} \right) \cup \left( {27;\infty } \right).\) \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\log _3^2x-2{{\log }_3}x = 0,}\\{\log _3^2x-2{{\log }_3}x > 3\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1,\;\;\;\;x = 9,\;\;\;\;\;\;\;\;\,\,}\\{x \in \left( {0;\dfrac{1}{3}} \right) \cup \left( {27;\infty } \right)}\end{array}} \right.\;\;\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\;x \in \left( {0;\dfrac{1}{3}} \right) \cup \left\{ {1;9} \right\} \cup \left( {27; + \infty } \right).\) Ответ: \(\left( {0;\dfrac{1}{3}} \right) \cup \left\{ {1;9} \right\} \cup \left( {27; + \infty } \right).\) 