Задача 72. Решите неравенство \(\dfrac{{\left( {{x^2} + 3x} \right){{\log }_2}\left( {{x^2}-12x + 36} \right)-\dfrac{{16}}{{{{\log }_{6-x}}4}}}}{{{x^2} + x-2}} \ge 0\).
ОТВЕТ: \(\left( {-\infty ;\;-4} \right] \cup \left( {-2;\,\,1} \right) \cup \left( {1;\,5} \right).\)
\(\dfrac{{\left( {{x^2} + 3x} \right){{\log }_2}\left( {{x^2}-12x + 36} \right)-\dfrac{{16}}{{{{\log }_{6-x}}4}}}}{{{x^2} + x-2}} \ge 0.\) Запишем ограничения на подлогарифмические выражения и основание логарифма: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2}-12x + 36 > 0,}\\{6-x > 0,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{6-x \ne 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\left( {x-6} \right)}^2} > 0,}\\{x < 6,\,\,\,\,\,\,\,\;\,\,\,\,\,\,\,}\\{x \ne 5\,\,\,\;\,\,\;\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ne 6,}\\{x < 6,\,}\\{x \ne 5\,\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x \in \left( {-\infty ;5} \right) \cup \left( {5;6} \right).\) \(\dfrac{{\left( {{x^2} + 3x} \right){{\log }_2}\left( {{x^2}-12x + 36} \right)-\dfrac{{16}}{{{{\log }_{6-x}}4}}}}{{{x^2} + x-2}} \ge 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\dfrac{{\left( {{x^2} + 3x} \right){{\log }_2}{{\left( {x-6} \right)}^2}-16{{\log }_4}\left( {6-x} \right)}}{{{x^2} + x-2}} \ge 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\dfrac{{2\left( {{x^2} + 3x} \right){{\log }_2}\left| {x-6} \right|-8{{\log }_2}\left( {6-x} \right)}}{{{x^2} + x-2}} \ge 0.\) Так как \(x\, \in \,\left( {-\infty ;5} \right) \cup \left( {5;6} \right),\) то \(\left| {x-6} \right| = 6-x.\) Тогда полученное неравенство примет вид: \(\dfrac{{2\left( {{x^2} + 3x} \right){{\log }_2}\left( {6-x} \right)-8{{\log }_2}\left( {6-x} \right)}}{{{x^2} + x-2}} \ge 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\dfrac{{\left( {{x^2} + 3x-4} \right){{\log }_2}\left( {6-x} \right)}}{{{x^2} + x-2}} \ge 0.\) Решим полученное неравенство методом интервалов при условии, что \(x \in \left( {-\infty ;5} \right) \cup \left( {5;6} \right).\) Найдём нули числителя: \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} + 3x-4 = 0,}\\{{{\log }_2}\left( {6-x} \right) = 0\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left( {x-1} \right)\left( {x + 4} \right) = 0,}\\{6-x = 1\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1,\;\;\,}\\{x = -4,}\\{x = 5.\;\;}\end{array}} \right.\) Найдём нули знаменателя: \({x^2} + x-2 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1,\;\;\,}\\{x = -2.}\end{array}} \right.\) Таким образом, решением исходного неравенства является: \(x \in \left( {-\infty ;\;-4} \right] \cup \left( {-2;\,\,1} \right) \cup \left( {1;\,5} \right).\) Ответ: \(\left( {-\infty ;\;-4} \right] \cup \left( {-2;\,\,1} \right) \cup \left( {1;\,5} \right).\) 