Задача 74. Решите неравенство \(\left( {\log _{0,2}^2\left( {x-5} \right)-{{\log }_5}\left( {{x^2}-10x + 25} \right) + 1} \right) \cdot {{\log }_5}\left( {x-7} \right) \le 0\).
ОТВЕТ: \(\left( {7;8} \right] \cup \left\{ {10} \right\}.\)
\(\left( {\log _{0,2}^2\left( {x-5} \right)-{{\log }_5}\left( {{x^2}-10x + 25} \right) + 1} \right) \cdot {{\log }_5}\left( {x-7} \right) \le 0.\) Найдём ОДЗ: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x-5 > 0,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;}\\{{x^2}-10x + 25 > 0,}\\{x-7 > 0\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x-5 > 0,\;\;\;\;}\\{{{\left( {x-5} \right)}^2} > 0,}\\{x-7 > 0\;\;\;\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x > 5,}\\{x > 7\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x > 7.\) \(\left( {\log _{0,2}^2\left( {x-5} \right)-{{\log }_5}\left( {{x^2}-10x + 25} \right) + 1} \right) \cdot {{\log }_5}\left( {x-7} \right) \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {\log _5^2\left( {x-5} \right)-2{{\log }_5}\left| {x-5} \right| + 1} \right) \cdot {{\log }_5}\left( {x-7} \right) \le 0.\) Так как \(x > 7,\) то \(\left| {x-5} \right| = x-5.\) Тогда неравенство примет вид: \(\left( {\log _5^2\left( {x-5} \right)-2{{\log }_5}\left( {x-5} \right) + 1} \right) \cdot {{\log }_5}\left( {x-7} \right) \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;{\left( {{{\log }_5}\left( {x-5} \right)-1} \right)^2} \cdot {{\log }_5}\left( {x-7} \right) \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\left( {{{\log }_5}\left( {x-5} \right)-1} \right)}^2} = 0,}\\{{{\log }_5}\left( {x-7} \right) \le 0.\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\end{array}} \right.\) Решим уравнение совокупности: \({\left( {{{\log }_5}\left( {x-5} \right)-1} \right)^2} = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{\log _5}\left( {x-5} \right)-1 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x-5 = 5\;\;\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\;x = 10.\) Решим неравенство совокупности: \({{\log }_5}\left( {x-7} \right) \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{{\log }_5}\left( {x-7} \right) \le {{\log }_5}1\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;0 < x-7 \le 1\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;7 < x \le 8.\) \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\left( {{{\log }_5}\left( {x-5} \right)-1} \right)}^2} = 0,}\\{{{\log }_5}\left( {x-7} \right) \le 0\,\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 10,\;\;\;\;\;\,}\\{7 < x \le 8\;\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x \in \left( {7;8} \right] \cup \left\{ {10} \right\}.\) Ответ: \(\left( {7;8} \right] \cup \left\{ {10} \right\}.\)