\({{\log }_{125}}\left( {{x^3}-6{x^2} + 12x-8} \right) \ge {{\log }_5}\left( {{x^2}-4} \right)-2\)
Найдём ОДЗ:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^3}-6{x^2} + 12x-8 > 0,}\\{{x^2}-4 > 0\,\;\,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\left( {x-2} \right)}^3} > 0,\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{\left( {x-2} \right)\left( {x + 2} \right) > 0}\end{array}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x-2 > 0,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{\left( {x-2} \right)\left( {x + 2} \right) > 0}\end{array}} \right.} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \)
\( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \in \left( {2;\infty } \right),\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{x \in \left( {-\infty ;-2} \right) \cup \left( {2;\infty } \right)}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x \in \left( {2;\infty } \right).\)
Вернёмся к исходному неравенству:
\({{\log }_{125}}\left( {{x^3}-6{x^2} + 12x-8} \right) \ge {{\log }_5}\left( {{x^2}-4} \right)-2;\;\;\; \Leftrightarrow \;\,\;\;{{\log }_{5^3}}{\left( {x-2} \right)^3}-{{\log }_5}\left( {\left( {x-2} \right)\left( {x + 2} \right)} \right) \ge -2\;\;\;\; \Leftrightarrow \)
\( \Leftrightarrow \,\,\,\,\,{\log _5}\left( {x-2} \right)-{\log _5}\left( {\left( {x-2} \right)\left( {x + 2} \right)} \right) \ge -2\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,{\log _5}\left( {\left( {x-2} \right)\left( {x + 2} \right)} \right)-{\log _5}\left( {x-2} \right) \le 2\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \)
\( \Leftrightarrow \;\,\;\;{{\log }_5}\frac{{\left( {x-2} \right)\left( {x + 2} \right)}}{{x-2}} \le {{\log }_5}25\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x + 2 \le 25\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x \le 23.\)
Найдём общее решение с ОДЗ:
Таким образом, решением исходного неравенства является: \(x \in \left( {2;\,\,23} \right].\)
Ответ: \(\left( {2;\,\,23} \right].\)