\({\log _8}\left( {{x^3}-3{x^2} + 3x-1} \right) \ge {\log _2}\left( {{x^2}-1} \right)-5.\)
Найдём ОДЗ:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^3}-3{x^2} + 3x-1 > 0,}\\{{x^2}-1 > 0\,\;\,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\left( {x-1} \right)}^3} > 0,\;\;\;\;\,\;\;\;}\\{\left( {x-1} \right)\left( {x + 1} \right) > 0}\end{array}\;\;\;\; \Leftrightarrow } \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \in \left( {1;\infty } \right),\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{x \in \left( {-\infty ;-1} \right) \cup \left( {1;\infty } \right)}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x \in \left( {1;\infty } \right).\)
Вернёмся к исходному неравенству:
\({\log _8}\left( {{x^3}-3{x^2} + 3x-1} \right) \ge {\log _2}\left( {{x^2}-1} \right)-5\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\,\;\;{\log _{{2^3}}}{\left( {x-1} \right)^3}-{\log _2}\left( {\left( {x-1} \right)\left( {x + 1} \right)} \right) \ge -5\;\;\;\; \Leftrightarrow \)
\( \Leftrightarrow \;\,\;\;{\log _2}\left( {x-1} \right)-{\log _2}\left( {\left( {x-1} \right)\left( {x + 1} \right)} \right) \ge -5\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\,\;\;{\log _2}\left( {\left( {x-1} \right)\left( {x + 1} \right)} \right)-{\log _2}\left( {x-1} \right) \le 5\;\;\;\; \Leftrightarrow \)
\( \Leftrightarrow \;\,\;\;\;{\log _2}\frac{{\left( {x-1} \right)\left( {x + 1} \right)}}{{x-1}} \le \;{\log _2}32\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{\log _2}\left( {x + 1} \right) \le \;{\log _2}32\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x + 1 \le 32\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x \le 31.\)
Найдём общее решение с ОДЗ:
Таким образом, решением исходного неравенства является: \(x \in \left( {1;\,\,31} \right].\)
Ответ: \(\left( {1;\,\,31} \right].\)