\({\log _4}\left( {\left( {x-5} \right)\left( {{x^2}-2x-15} \right)} \right) + 1 \ge 0,5\,\,{\log _2}{\left( {x-5} \right)^2}.\)
Найдём ОДЗ:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left( {x-5} \right)\left( {{x^2}-2x-15} \right) > 0,}\\{{{\left( {x-5} \right)}^2} > 0\,\;\,\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\,\;\;\;\;\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\left( {x-5} \right)}^2}\left( {x + 3} \right) > 0,}\\{x \ne 5.\,\;\,\;\;\;\;\;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\;\;\;}\end{array}} \right.\)
Решим первое неравенство системы методом интервалов:
Следовательно, \(x\, \in \,\left( {-3;5} \right) \cup \left( {5;\infty } \right).\)
Вернёмся к исходному неравенству:
\({\log _4}\left( {\left( {x-5} \right)\left( {{x^2}-2x-15} \right)} \right) + 1 \ge 0,5\,\,{\log _2}{\left( {x-5} \right)^2}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\,\;\;\;{\log _4}\left( {{{\left( {x-5} \right)}^2}\left( {x + 3} \right)} \right)-\,{\log _4}{\left( {x-5} \right)^2} \ge -1\;\;\;\; \Leftrightarrow \)
\( \Leftrightarrow \;\,\;\;\;{\log _4}\dfrac{{{{\left( {x-5} \right)}^2}\left( {x + 3} \right)}}{{{{\left( {x-5} \right)}^2}}} \ge -1\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\,\;\;\;{\log _4}\left( {x + 3} \right) \ge {\log _4}\dfrac{1}{4}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x \ge -2,75.\)
Найдём общее решение с ОДЗ:
Таким образом, решением исходного неравенства является: \(x \in \left[ {-2,75;\,5} \right) \cup \left( {5;\,\infty } \right).\)
Ответ: \(\left[ {-2,75;\,5} \right) \cup \left( {5;\,\infty } \right).\)