Задача 80. Решите неравенство \({\log _{0,1}}\left( {{x^3}-5{x^2}-25x + 125} \right) \le {\log _{0,01}}{\left( {x-5} \right)^4}.\)
ОТВЕТ: \(\left[ {-4;\,5} \right) \cup \left( {5;\,\infty } \right).\)
\({\log _{0,1}}\left( {{x^3}-5{x^2}-25x + 125} \right) \le {\log _{0,01}}{\left( {x-5} \right)^4}.\) Найдём ОДЗ: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^3}-5{x^2}-25x + 125 > 0,}\\{{{\left( {x-5} \right)}^4} > 0.\,\;\,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\,}\end{array}} \right.\) Рассмотрим первое неравенство системы: \({x^3}-5{x^2}-25x + 125 > 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{x^2}\left( {x-5} \right)-25\left( {x-5} \right) > 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {{x^2}-25} \right)\left( {x-5} \right) > 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{\left( {x-5} \right)^2}\left( {x + 5} \right) > 0.\) Решим неравенство системы методом интервалов: Следовательно, \(x\, \in \,\left( {-5;5} \right) \cup \left( {5;\infty } \right).\) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^3}-5{x^2}-25x + 125 > 0,}\\{{{\left( {x-5} \right)}^4} > 0\,\,\;\,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x\, \in \,\left( {-5;5} \right) \cup \left( {5;\,\infty } \right),}\\{x \ne 5\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x\, \in \,\left( {-5;5} \right) \cup \left( {5;\infty } \right).\) Вернёмся к исходному неравенству: \({\log _{0,1}}\left( {{x^3}-5{x^2}-25x + 125} \right) \le {\log _{0,01}}{\left( {x-5} \right)^4}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{\log _{0,1}}\left( {{{\left( {x-5} \right)}^2}\left( {x + 5} \right)} \right)-{\log _{0,1}}{\left( {x-5} \right)^2} \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;{\log _{0,1}}\dfrac{{{{\left( {x-5} \right)}^2}\left( {x + 5} \right)}}{{{{\left( {x-5} \right)}^2}}} \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{\log _{0,1}}\left( {x + 5} \right) \le {\log _{0,1}}1\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x \ge -4.\) Найдём общее решение с ОДЗ: Таким образом, решением исходного неравенства является: \(x \in \left[ {-4;\,5} \right) \cup \left( {5;\,\infty } \right).\) Ответ: \(\left[ {-4;\,5} \right) \cup \left( {5;\,\infty } \right).\) 
