Задача 83. Решите неравенство \(\dfrac{{{{\log }_3}\left( {3-x} \right)-{{\log }_3}\left( {x + 2} \right)}}{{\log _3^2{x^2} + {{\log }_3}{x^4} + 1}} \ge 0.\)
ОТВЕТ: \(\left( {-2;-\dfrac{{\sqrt 3 }}{3}} \right) \cup \left( {-\dfrac{{\sqrt 3 }}{3};0} \right) \cup \left( {0;\,\dfrac{1}{2}} \right].\)
\(\dfrac{{{{\log }_3}\left( {3-x} \right)-{{\log }_3}\left( {x + 2} \right)}}{{\log _3^2{x^2} + {{\log }_3}{x^4} + 1}} \ge 0.\) Запишем ограничения на подлогарифмические выражения: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{3-x > 0,}\\{x + 2 > 0,}\\{{x^2} > 0,\;\;\;\,}\\{{x^4} > 0\;\;\;\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x < 3,\;\;}\\{x > -2,}\\{x \ne 0.\;\;}\end{array}} \right.\) Найдём общее решение полученной системы: Следовательно, \(x\, \in \,\left( {-2;0} \right) \cup \left( {0;3} \right).\) \(\dfrac{{{{\log }_3}\left( {3-x} \right)-{{\log }_3}\left( {x + 2} \right)}}{{\log _3^2{x^2} + {{\log }_3}{x^4} + 1}} \ge 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\dfrac{{{{\log }_3}\left( {3-x} \right)-{{\log }_3}\left( {x + 2} \right)}}{{\log _3^2{x^2} + 2{{\log }_3}{x^2} + 1}} \ge 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\dfrac{{{{\log }_3}\left( {3-x} \right)-{{\log }_3}\left( {x + 2} \right)}}{{{{\left( {{{\log }_3}{x^2} + 1} \right)}^2}}} \ge 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\log }_3}\left( {3-x} \right)-{{\log }_3}\left( {x + 2} \right) \ge 0,}\\{{{\left( {{{\log }_3}{x^2} + 1} \right)}^2} \ne 0\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\log }_3}\left( {3-x} \right) \ge {{\log }_3}\left( {x + 2} \right),}\\{{{\log }_3}{x^2} \ne -1\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{0 < x + 2 \le 3-x,}\\{{x^2} \ne \dfrac{1}{3}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;\;}\end{array}\;\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{-2 < x \le 0,5,}\\{x \ne \pm \dfrac{{\sqrt 3 }}{3}\;\;\;\;\;}\end{array}\;\;\;\;\; \Leftrightarrow } \right.} \right.\;\;\;\;\,x \in \left( {-2;-\dfrac{{\sqrt 3 }}{3}} \right) \cup \left( {-\dfrac{{\sqrt 3 }}{3};\dfrac{1}{2}} \right].\) Так как ограничения на подлогарифмические выражения \(x\, \in \,\left( {-2;0} \right) \cup \left( {0;3} \right),\) то решение неравенства будет иметь вид: \(x \in \left( {-2;-\dfrac{{\sqrt 3 }}{3}} \right) \cup \left( {-\dfrac{{\sqrt 3 }}{3};0} \right) \cup \left( {0;\,\dfrac{1}{2}} \right].\) Ответ: \(\left( {-2;-\dfrac{{\sqrt 3 }}{3}} \right) \cup \left( {-\dfrac{{\sqrt 3 }}{3};0} \right) \cup \left( {0;\,\dfrac{1}{2}} \right].\) 