Свойства логарифмов. Логарифмические вычисления. Задача 15math100admin44242025-12-13T09:33:57+03:00
Задача 15. Вычислите \(\dfrac{{{{\log }_{0,3}}10 — {{\log }_{0,3}}3}}{{{{\log }_3}\dfrac{9}{{10}} + {{\log }_3}10}} + {2^{\,\frac{1}{{{{\log }_5}2}}}} + \log _{\sqrt {11} }^{\,\,\,2}121\)
Решение
Воспользуемся свойствами:
\({\log _a}b-{\log _a}c = {\log _a}\dfrac{b}{c};\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\log _a}b + {\log _a}c = {\log _a}\left( {bc} \right);\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\log _a}b = \dfrac{1}{{{{\log }_b}a}}.\)
\(\dfrac{{{{\log }_{0,3}}10-{{\log }_{0,3}}3}}{{{{\log }_3}\frac{9}{{10}} + {{\log }_3}10}} + {2^{\frac{1}{{{{\log }_5}2}}}} + \log _{\sqrt {11} }^2121 = \dfrac{{{{\log }_{0,3}}\dfrac{{10}}{3}}}{{{{\log }_3}\left( {\dfrac{9}{{10}} \cdot 10} \right)}} + {2^{{{\log }_2}5}} + {\left( {{{\log }_{{{11}^{\frac{1}{2}}}}}{{11}^2}} \right)^2} = \)
\( = \dfrac{{{{\log }_{\frac{3}{{10}}}}{{\left( {\dfrac{3}{{10}}} \right)}^{-1}}}}{{{{\log }_3}{3^2}}} + 5 + {\left( {2 \cdot 2 \cdot {{\log }_{11}}11} \right)^2} = \dfrac{{-1}}{2} + 5 + {4^2} = 20,5.\)
Ответ: 20,5.