Свойства логарифмов. Логарифмические вычисления. Задача 29math100admin44242024-03-03T18:33:38+03:00
Задача 29. Вычислите \(\sqrt 7 \cdot \left( {{4^{{{\log }_2}\sqrt {2 + \sqrt 7 } }} + {4^{{{\log }_{16}}{{\left( {2\, — \,\sqrt 7 } \right)}^2}}}} \right)\)
Решение
\(\sqrt 7 \cdot \left( {{4^{{{\log }_2}\sqrt {2 + \sqrt 7 } }} + {4^{{{\log }_{16}}{{\left( {2-\sqrt 7 } \right)}^2}}}} \right) = \sqrt 7 \cdot \left( {{2^{2{{\log }_2}\sqrt {2 + \sqrt 7 } }} + {4^{{{\log }_{{4^2}}}{{\left( {2-\sqrt 7 } \right)}^2}}}} \right) = \)
\( = \sqrt 7 \cdot \left( {{2^{{{\log }_2}\left( {2 + \sqrt 7 } \right)}} + {4^{{{\log }_4}\left| {2-\sqrt 7 } \right|}}} \right) = \sqrt 7 \cdot \left( {2 + \sqrt 7 + \left| {2-\sqrt 7 } \right|} \right).\)
Так как \(\sqrt 7 > \sqrt 4 = 2\), то \(2-\sqrt 7 < 0,\) поэтому \(\left| {2-\sqrt 7 } \right| = -\left( {2-\sqrt 7 } \right) = \sqrt 7 -2.\)
Следовательно:
\(\sqrt 7 \cdot \left( {2 + \sqrt 7 + \left| {2-\sqrt 7 } \right|} \right) = \sqrt 7 \cdot \left( {2 + \sqrt 7 + \sqrt 7 -2} \right) = \sqrt 7 \cdot 2\sqrt 7 = 14.\)
Ответ: 14.