Свойства логарифмов. Логарифмические вычисления. Задача 30math100admin44242024-03-03T18:34:57+03:00
Задача 30. Вычислите \({2^{{{\log }_{16}}{{\left( {2\, — \,\sqrt 5 } \right)}^4}}} — {2^{{{\log }_4}{{\left( {2 + \,\sqrt 5 } \right)}^2}}}\)
Решение
\({2^{{{\log }_{16}}{{\left( {2-\sqrt 5 } \right)}^4}}}-{2^{{{\log }_4}{{\left( {2 + \sqrt 5 } \right)}^2}}} = {2^{{{\log }_{{2^4}}}{{\left( {2-\sqrt 5 } \right)}^4}}}-{2^{{{\log }_{{2^2}}}{{\left( {2 + \sqrt 5 } \right)}^2}}} = {2^{{{\log }_2}\left| {2-\sqrt 5 } \right|}}-{2^{{{\log }_2}\left( {2 + \sqrt 5 } \right)}} = \left| {2-\sqrt 5 } \right|-\left( {2 + \sqrt 5 } \right).\)
Так как \(\sqrt 5 > \sqrt 4 = 2\), то \(2-\sqrt 5 < 0,\) поэтому \(\left| {2-\sqrt 5 } \right| = -\left( {2-\sqrt 5 } \right) = \sqrt 5 -2.\)
Следовательно: \(\left| {2-\sqrt 5 } \right|-\left( {2 + \sqrt 5 } \right) = \sqrt 5 -2-2-\sqrt 5 = -4.\)
Ответ: \(-4\).