Свойства логарифмов. Логарифмические вычисления. Задача 41math100admin44242025-03-27T21:24:29+03:00
Задача 41. Вычислите \({\log _{\frac{4}{{{x^6}}}}}\left( {8\,\sqrt[4]{y}} \right)\), если \({\log _y}x = \dfrac{1}{8}\) и \({\log _2}y = 2\)
Решение
\({\log _2}y = 2\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,y = 4;\) \({\log _y}x = \dfrac{1}{8}\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,x = {y^{\frac{1}{8}}} = {4^{\frac{1}{8}}} = {2^{\frac{1}{4}}}.\) Тогда:
\({\log _{\frac{4}{{{x^6}}}}}\left( {8\sqrt[4]{y}} \right) = {\log _{\frac{4}{{{2^{\frac{3}{2}}}}}}}\left( {8 \cdot {4^{\frac{1}{4}}}} \right) = {\log _{{2^{\frac{1}{2}}}}}\left( {{2^3} \cdot {2^{\frac{1}{2}}}} \right) = 2{\log _2}{2^{\frac{7}{2}}} = 2 \cdot \dfrac{7}{2} = 7.\)
Ответ: 7.