Свойства логарифмов. Логарифмические вычисления. Задача 42

Свойства логарифмов. Логарифмические вычисления. Задача 42math100admin44242025-03-27T21:25:36+03:00

Задача 42. Вычислите \(7{\log _{\left( {27\,\sqrt[4]{y}} \right)}}\left( {\dfrac{9}{{{x^6}}}} \right)\), если \({\log _3}x = \dfrac{1}{6}\) и \({\log _x}y = 12\)

Ответ

ОТВЕТ: 2.

Решение

\({\log _3}x = \dfrac{1}{6}\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,x = {3^{\frac{1}{6}}};\,\,\,\,\,\,\,\,{\log _x}y = 12\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,y = {x^{12}} = {\left( {{3^{\frac{1}{6}}}} \right)^{12}} = {3^2} = 9.\) Тогда:

\(7{\log _{\left( {27\,\sqrt[4]{y}} \right)}}\left( {\dfrac{9}{{{x^6}}}} \right) = 7{\log _{\left( {27\sqrt[4]{9}} \right)}}\left( {\dfrac{9}{3}} \right) = 7{\log _{{3^{3,5}}}}3 = 7 \cdot \dfrac{2}{7} \cdot {\log _3}3 = 2.\)

Ответ: 2.