Пусть \({2^x} + {2^{-x}} = t\), где \(t > 0\).
Возведём обе части этого равенства в квадрат.
\({\left( {{2^x} + {2^{-x}}} \right)^2} = {t^2}\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,{4^x} + 2 \cdot {2^x} \cdot {2^{-x}} + {4^{-x}} = {t^2}\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,{4^x} + 2 + {4^{-x}} = {t^2}.\)
Так как \({4^x} + {4^{-x}} = 23\), то последнее равенство примет вид:
\({t^2} = 2 + 23\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,{t^2} = 25\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = 5,\,\,\,}\\{t = -5.}\end{array}} \right.\,\)
Так как \(t > 0\), то \(t = 5\) и \({2^x} + {2^{-x}} = 5\).
Ответ: 5.