Запишем область допустимых значений на переменную b: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{b > 0,}\\{b \ne 1.}\end{array}} \right.\)
\({\left( {6\left( {{{\log }_b}a \cdot {{\log }_{{a^2}}}b + 1} \right) + {{\log }_a}{b^{-6}} + \log _a^2b} \right)^{\frac{1}{2}}}-{\log _a}b = \)
\( = {\left( {6 \cdot \left( {\frac{1}{2}{{\log }_b}a \cdot {{\log }_a}b + 1} \right)-6{{\log }_a}b + \log _a^2b} \right)^{\frac{1}{2}}}-{\log _a}b = \)
\( = \sqrt {9-6{{\log }_a}b + \log _a^2b} -{\log _a}b = \sqrt {{{\left( {{{\log }_a}b-3} \right)}^2}} -{\log _a}b = \left| {{{\log }_a}b-3} \right|-{\log _a}b.\)
Так как \(a > 1\), то \({\log _a}b-3 \ge 0\), если \(b \ge {a^3}\) и \({\log _a}b-3 < 0\), если \(0 < b < {a^3}\).
Поэтому:
\(\left| {{{\log }_a}b-3} \right|-{\log _a}b = {\log _a}b-3-{\log _a}b = -3,\) если \(b \ge {a^3};\)
\(\left| {{{\log }_a}b-3} \right|-{\log _a}b = 3-{\log _a}b-{\log _a}b = 3-2{\log _a}b,\) если \(0 < b < {a^3},\,\,\,\,\,\,\,b \ne 1.\)
Ответ: \(3-2{\log _a}b\), если \(0 < b < {a^3},\,\,\,\,\,b \ne 1;\) \(-3\), если \(b \ge {a^3}.\)