Упрощение логарифмических выражений. Задача 14math100admin44242025-03-27T22:04:20+03:00
Задача 14. Упростите выражение \({\log _{a + b}}m + {\log _{a-b}}m-2{\log _{a + b}}m \cdot {\log _{a-b}}m\), если известно, что \({m^2} = {a^2}-{b^2}\).
Решение
\({\log _{a + b}}m + {\log _{a-b}}m-2{\log _{a + b}}m \cdot {\log _{a-b}}m = \)
\( = \dfrac{1}{{{{\log }_m}\left( {a + b} \right)}} + \dfrac{1}{{{{\log }_m}\left( {a-b} \right)}}-\dfrac{2}{{{{\log }_m}\left( {a + b} \right){{\log }_m}\left( {a-b} \right)}} = \)
\( = \dfrac{{{{\log }_m}\left( {a-b} \right) + {{\log }_m}\left( {a + b} \right)-2}}{{{{\log }_m}\left( {a + b} \right){{\log }_m}\left( {a-b} \right)}} = \dfrac{{{{\log }_m}\left( {{a^2}-{b^2}} \right)-2}}{{{{\log }_m}\left( {a + b} \right){{\log }_m}\left( {a-b} \right)}} = \)
\( = \dfrac{{{{\log }_m}{m^2}-2}}{{{{\log }_m}\left( {a + b} \right){{\log }_m}\left( {a-b} \right)}} = \dfrac{{2{{\log }_m}m-2}}{{{{\log }_m}\left( {a + b} \right){{\log }_m}\left( {a-b} \right)}} = 0.\)
Ответ: 0.