Задача 2. Упростите выражение \({a^{\frac{2}{{{{\log }_b}a}} + 1}} \cdot b-2\, \cdot {a^{{{\log }_a}b + 1}} \cdot {b^{{{\log }_b}a + 1}} + a\, \cdot {b^{\,\frac{2}{{{{\log }_a}b}} + 1}}\)
Ответ
ОТВЕТ: \(ab{\left( {a-b} \right)^2},\) где \(a > 0,\;\,\,a \ne 1,\;\,\,b > 0,\,{\text{ }}b \ne 1.\)
Решение
Запишем область допустимых значений на переменные a и b: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a > 0,}\\{a \ne 1,}\\{b > 0,}\\{b \ne 1.}\end{array}} \right.\)
\({a^{\frac{2}{{{{\log }_b}a}} + 1}} \cdot b-2 \cdot {a^{{{\log }_a}b + 1}} \cdot {b^{{{\log }_b}a + 1}} + a \cdot {b^{\frac{2}{{{{\log }_a}b}} + 1}} = \)
\( = {a^{2{{\log }_a}b}} \cdot {a^1} \cdot b-2 \cdot {a^{{{\log }_a}b}} \cdot a \cdot {b^{{{\log }_b}a}} \cdot b + a \cdot {b^{2{{\log }_b}a}} \cdot b = \)
\( = {b^2}a\,b-2\,b\,a\,a\,b + a \cdot {a^2}\,b = ab\left( {{b^2}-2ab + {a^2}} \right) = ab{\left( {a-b} \right)^2}.\)
Ответ: \(ab{\left( {a-b} \right)^2}\), где \(a > 0,\,\,\,\,a \ne 1,\,\,\,\,b > 0,\,\,\,\,b \ne 1.\)