Задача 4. Упростите выражение \(\dfrac{{1-\log _a^3b}}{{\left( {{{\log }_a}b + {{\log }_b}a + 1} \right){{\log }_a}\dfrac{a}{b}}}\)
Ответ
ОТВЕТ: \({\log _a}b,\) где \(a > 0,\;\,\,a \ne 1,\;\,\,b > 0,{\text{ }}\,\,b \ne 1,\,\,{\text{ }}b \ne a.\)
Решение
Запишем область допустимых значений на переменные a и b: \(\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a > 0,}\\{a \ne 1,}\\{b > 0,}\\{\begin{array}{*{20}{c}}{b \ne 1,}\\{a \ne b.}\end{array}}\end{array}} \right.\)
\(\dfrac{{1-\log _a^3b}}{{\left( {{{\log }_a}b + {{\log }_b}a + 1} \right){{\log }_a}\dfrac{a}{b}}} = \dfrac{{\left( {1-{{\log }_a}b} \right)\left( {1 + {{\log }_a}b + \log _a^2b} \right)}}{{\left( {{{\log }_a}b + \dfrac{1}{{{{\log }_a}b}} + 1} \right) \cdot \left( {{{\log }_a}a-{{\log }_a}b} \right)}} = \)
\( = \dfrac{{\left( {1-{{\log }_a}b} \right)\left( {1 + {{\log }_a}b + \log _a^2b} \right)}}{{\dfrac{{\log _a^2b + {{\log }_a}b + 1}}{{{{\log }_a}b}} \cdot \left( {1-{{\log }_a}b} \right)}} = {\log _a}b.\)
Ответ: \({\log _a}b\), где \(a > 0,\,\,\,\,a \ne 1,\,\,\,\,b > 0,\,\,\,\,b \ne 1,\,\,\,\,b \ne a.\)