Задача 5. Упростите выражение \({\left( {{b^{\frac{{{{\log }_{100}}a}}{{\lg a}}}} \cdot {a^{\frac{{{{\log }_{100}}b}}{{\lg b}}}}} \right)^{2{{\log }_{ab}}\left( {a + b} \right)}}\)
Ответ
ОТВЕТ: \(a + b,\) где \(a > 0,\;\,\,a \ne 1,\;\,\,b > 0,{\text{ }}\,\,b \ne 1,{\text{ }}\,\,ab \ne 1.\)
Решение
Запишем область допустимых значений на переменные a и b: \(\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a > 0,\,\,\,}\\{a \ne 1,\,\,\,}\\{b > 0,\,\,\,}\\{\begin{array}{*{20}{c}}{b \ne 1,\,\,\,}\\{ab \ne 1.}\end{array}}\end{array}} \right.\)
\({\left( {{b^{\frac{{{{\log }_{100}}a}}{{\lg a}}}} \cdot {a^{\frac{{{{\log }_{100}}b}}{{\lg b}}}}} \right)^{2{{\log }_{ab}}\left( {a + b} \right)}} = {\left( {{b^{\frac{{\frac{1}{2}\lg a}}{{\lg a}}}} \cdot {a^{\frac{{\frac{1}{2}\lg b}}{{\lg b}}}}} \right)^{2{{\log }_{ab}}\left( {a + b} \right)}} = \)
\( = {\left( {{b^{\frac{1}{2}}} \cdot {a^{\frac{1}{2}}}} \right)^{2{{\log }_{ab}}\left( {a + b} \right)}} = {\left( {ab} \right)^{{{\log }_{ab}}\left( {a + b} \right)}} = a + b.\)
Ответ: \(a + b\), где \(a > 0,\,\,\,\,\,a \ne 1,\,\,\,\,b > 0,\,\,\,\,b \ne 1,\,\,\,\,ab \ne 1.\)