Упрощение логарифмических выражений. Задача 7

ОТВЕТ: \(x + 1,\)  где  \(x > 0,\,\;{\text{ }}x \ne 1.\)

Запишем область допустимых значений на переменную x:   \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x > 0,}\\{x \ne 1.}\end{array}} \right.\)

\({\left( {{x^{1 + \frac{1}{{2{{\log }_4}x}}}} + {8^{\frac{1}{{3{{\log }_{{x^2}}}2}}}} + 1} \right)^{\frac{1}{2}}} = {\left( {{x^1} \cdot {x^{\frac{1}{2}{{\log }_x}4}} + {{\left( {{2^3}} \right)}^{\frac{{{{\log }_2}{x^2}}}{3}}} + 1} \right)^{\frac{1}{2}}} = \)

\( = {\left( {x \cdot {x^{{{\log }_x}2}} + {2^{{{\log }_2}{x^2}}} + 1} \right)^{\frac{1}{2}}} = {\left( {2x + {x^2} + 1} \right)^{\frac{1}{2}}} = \sqrt {{{\left( {x + 1} \right)}^2}}  = \left| {x + 1} \right|.\)

Так как \(x > 0\) и \(x \ne 1\), то \(\left| {x + 1} \right| = x + 1\).

Ответ:  \(x + 1\), где \(x > 0,\,\,\,\,\,x \ne 1.\)