Показательные уравнения, сводящиеся к простейшим заменой неизвестного. Задача 31

ОТВЕТ: \(1 \pm \sqrt 3 .\)

\({2^{2{x^2}}} + {2^{{x^2} + 2x + 2}} = {2^{5 + 4x}}\left| {:{2^{5 + 4x}} > 0} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\dfrac{{{2^{2{x^2}}}}}{{{2^{5 + 4x}}}} + \dfrac{{{2^{{x^2} + 2x + 2}}}}{{{2^{5 + 4x}}}} = 1\;\;\;\; \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \;\;\;\;{2^{2{x^2}-4x-5}} + {2^{{x^2}-2x-3}} = 1\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;2 \cdot {2^{2{x^2}-4x-6}} + {2^{{x^2}-2x-3}}-1 = 0.\)

Пусть  \({2^{{x^2}-2x-3}} = t,\;\;\;\;t > 0.\)  Тогда уравнение примет вид:

\(2{t^2} + t-1 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = \dfrac{1}{2},\;\;\;\;\;\;\,}\\{t = -1 < 0.}\end{array}} \right.\)

Вернёмся к прежней переменной:

\({2^{{x^2}-2x-3}} = \dfrac{1}{2}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{2^{{x^2}-2x-3}} = {2^{-1}}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{x^2}-2x-2 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1 + \sqrt 3 ,}\\{x = 1-\sqrt 3 .}\end{array}} \right.\)

Ответ:   \(1 \pm \sqrt 3 .\)