Логарифмические уравнения, сводящиеся к простейшим заменой неизвестного. Задача 29math100admin44242025-03-28T21:05:59+03:00
Задача 29. Решите уравнение \(\log _{0,25}^2\dfrac{x}{{16}} + \log _{0,25}^2\dfrac{x}{4} = 1\)
Решение
\(\log _{\frac{1}{4}}^2\dfrac{x}{{16}} + \log _{\frac{1}{4}}^2\dfrac{x}{4} = 1.\)
Запишем ОДЗ: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\dfrac{x}{{16}} > 0,}\\{\dfrac{x}{4} > 0\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x > 0.\)
\(\log _{\frac{1}{4}}^2\dfrac{x}{{16}} + \log _{\frac{1}{4}}^2\dfrac{x}{4} = 1\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\log _{\frac{1}{4}}^2\left( {\dfrac{x}{4} \cdot \dfrac{1}{4}} \right) + \log _{\frac{1}{4}}^2\dfrac{x}{4} = 1\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{\left( {{{\log }_{\frac{1}{4}}}\dfrac{x}{4} + 1} \right)^2} + \log _{\frac{1}{4}}^2\dfrac{x}{4} = 1\;\;\;\; \Leftrightarrow \)
\( \Leftrightarrow \;\;\;\;\log _{\frac{1}{4}}^2\dfrac{x}{4} + 2{\log _{\frac{1}{4}}}\dfrac{x}{4} + 1 + \log _{\frac{1}{4}}^2\dfrac{x}{4} = 1\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;2\log _{\frac{1}{4}}^2\dfrac{x}{4} + 2{\log _{\frac{1}{4}}}\dfrac{x}{4} = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \)
\( \Leftrightarrow \;\;\;\;{\log _{\frac{1}{4}}}\dfrac{x}{4}\left( {{{\log }_{\frac{1}{4}}}\dfrac{x}{4} + 1} \right) = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\log }_{\frac{1}{4}}}\dfrac{x}{4} = -1,}\\{{{\log }_{\frac{1}{4}}}\dfrac{x}{4} = 0\;\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\dfrac{x}{4} = 4,}\\{\dfrac{x}{4} = 1\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 16,}\\{x = 4.\;\,}\end{array}} \right.\)
Ответ: \(4;\;\;\;16.\)