Показательные уравнения повышенной сложности. Задача 2math100admin44242025-03-29T08:24:42+03:00
Задача 2 Решите уравнение \(\sqrt[3]{{{3^{x + 1}}}} = {\left( {\sqrt[4]{{{9^{x-2}}}}} \right)^{x + 1}}\)
Решение
\(\sqrt[3]{{{3^{x + 1}}}} = {\left( {\sqrt[4]{{{9^{x-2}}}}} \right)^{x + 1}}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{3^{\frac{{x + 1}}{3}}} = {\left( {{9^{\frac{{x-2}}{4}}}} \right)^{x + 1}}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{3^{\frac{{x + 1}}{3}}} = {3^{\frac{{2\left( {x-2} \right)\left( {x + 1} \right)}}{4}}}\;\;\;\; \Leftrightarrow \)
\( \Leftrightarrow \;\;\;\;\dfrac{{x + 1}}{3} = \dfrac{{\left( {x-2} \right)\left( {x + 1} \right)}}{2}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;2\left( {x + 1} \right)-3\left( {x-2} \right)\left( {x + 1} \right) = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \)
\( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {x + 1} \right)\left( {2-3x + 6} \right) = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = -1,}\\{x = \dfrac{8}{3}.\;}\end{array}} \right.\)
Ответ: \(-1;\;\;\;\dfrac{8}{3}.\)