\({2^{\log _2^2x}} + {x^{{{\log }_2}{x^2}}} = 6.\)
Запишем ОДЗ: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x > 0,}\\{{x^2} > 0}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x > 0.\)
Рассмотрим первое слагаемое исходного уравнения:
\({2^{\log _2^2x}} = {\left( {{2^{{{\log }_2}x}}} \right)^{{{\log }_2}x}} = {x^{{{\log }_2}x}}.\)
Тогда уравнение примет вид:
\({x^{{{\log }_2}x}} + {x^{{{\log }_2}{x^2}}} = 6\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{x^{2{{\log }_2}\left| x \right|}} + {x^{{{\log }_2}x}}-6 = 0.\)
Так как \(x > 0,\) то \(\left| x \right| = x.\) Тогда уравнение примет вид: \({x^{2{{\log }_2}x}} + {x^{{{\log }_2}x}}-6 = 0.\)
Пусть \({x^{{{\log }_2}x}} = t,\;\;\;\;t > 0.\) Тогда:
\({t^2} + t-6 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = -3 < 0,}\\{t = 2.\;\;\;\;\;\;\,\,}\end{array}} \right.\)
Вернёмся к прежней переменной: \({x^{{{\log }_2}x}} = 2.\)
Прологарифмируем обе части последнего уравнения по основанию 2:
\({x^{{{\log }_2}x}} = 2\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{\log _2}{x^{{{\log }_2}x}} = {\log _2}2\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{\log _2}x \cdot {\log _2}x = 1\;\;\;\; \Leftrightarrow \)
\( \Leftrightarrow \;\;\;\;\log _2^2x = 1\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\log }_2}x = -1,}\\{{{\log }_2}x = 1\;\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \dfrac{1}{2},}\\{x = 2.\;}\end{array}} \right.\)
Ответ: \(\dfrac{1}{2};\;\;\;2.\)