\(\left| {{{\log }_{\sqrt 3 }}x-2} \right|-\left| {{{\log }_3}x-2} \right| = 2.\)
Запишем ОДЗ: \(x > 0.\)
\(\left| {{{\log }_{\sqrt 3 }}x-2} \right|-\left| {{{\log }_3}x-2} \right| = 2\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left| {2{{\log }_3}x-2} \right|-\left| {{{\log }_3}x-2} \right| = 2.\)
Пусть \({\log _3}x = t.\) Тогда уравнение примет вид: \(\left| {2t-2} \right|-\left| {t-2} \right| = 2.\)
Решим полученное уравнение методом интервалов. Рассмотрим случай \(t < 1:\)
\(\left\{ \begin{array}{l}t < 1,\\-2t + 2 + t-2 = 2\end{array} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ \begin{array}{l}t < 1,\\t = -2\end{array} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;t = -2.\)
Рассмотрим случай \(1 \le t < 2:\)
\(\left\{ \begin{array}{l}1 \le t < 2,\\2t-2 + t-2 = 2\end{array} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ \begin{array}{l}1 \le t < 2,\\t = 2\end{array} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;t \notin R.\)
Рассмотрим случай \(t \ge 2:\)
\(\left\{ \begin{array}{l}t \ge 2,\\2t-2-t + 2 = 2\end{array} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ \begin{array}{l}t \ge 2,\\t = 2\end{array} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;t = 2.\)
Вернёмся к прежней переменной: \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\log }_3}x = -2,}\\{{{\log }_3}x = 2\;\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \dfrac{1}{9},}\\{x = 9.\;}\end{array}} \right.\)
Ответ: а) \(\dfrac{1}{9};\;\;\;9.\)