Логарифмические уравнения повышенной сложности. Задача 7math100admin44242025-12-25T09:34:40+03:00
Задача 7. Решите уравнение \({\log _2}x \cdot {\log _3}x = {\log _3}{x^3} + {\log _2}{x^2}-6\)
Решение
\({\log _2}x \cdot {\log _3}x = {\log _3}{x^3} + {\log _2}{x^2}-6.\)
Запишем ОДЗ: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x > 0,\;\,}\\{{x^3} > 0,}\\{{x^2} > 0\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x > 0.\)
\({\log _2}x \cdot {\log _3}x = {\log _3}{x^3} + {\log _2}{x^2}-6\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;3\;{\log _3}x + 2{\log _2}\left| x \right|-\;{\log _2}x \cdot {\log _3}x-6 = 0.\)
Так как \(x > 0,\) то \(\left| x \right| = x.\) Тогда уравнение примет вид:
\(3\;{\log _3}x + 2{\log _2}x-\;{\log _2}x \cdot {\log _3}x-6 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;3\;\left( {{{\log }_3}x-2} \right)-{\log _2}x\left( {\;{{\log }_3}x-2} \right) = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \)
\( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {{{\log }_3}x-2} \right)\left( {3-{{\log }_2}x} \right) = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\log }_2}x = 3,}\\{{{\log }_3}x = 2\;}\end{array}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 8,}\\{x = 9.}\end{array}} \right.} \right.\)
Ответ: \(8;\;\;\;9.\)