Простейшие показательные неравенства. Задача 28

Задача 28. Решите неравенство \({\left( {\dfrac{6}{{11}}} \right)^{\dfrac{{5x + 1}}{x}\;-\;1}} \leqslant \dfrac{{121}}{{36}}\). В ответ запишите наименьшее целое положительное решение

Ответ

ОТВЕТ: 1.

Решение

\({\left( {\dfrac{6}{{11}}} \right)^{\dfrac{{5x + 1}}{x}-1}} \le \dfrac{{121}}{{36}}\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,{\left( {\dfrac{6}{{11}}} \right)^{\dfrac{{5x + 1}}{x}-1}} \le {\left( {\dfrac{6}{{11}}} \right)^{-2}}\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\dfrac{{5x + 1}}{x}-1 \ge -2\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\dfrac{{5x + 1}}{x} + 1 \ge 0\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\dfrac{{6x + 1}}{x} \ge 0\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,x\, \in \,\left( {-\infty ;-\dfrac{1}{6}} \right] \cup \left( {0;\infty } \right).\)

Следовательно, наименьшее целое положительное решение равно 1.

Ответ: 1.