Простейшие показательные неравенства. Задача 31

Задача 31. Решите неравенство \(\frac{{{7^x}-50}}{{{7^x}-1}} \leqslant 0\). В ответ запишите количество целых решений

Ответ

ОТВЕТ: 2.

Решение

\(\frac{{{7^x}-50}}{{{7^x}-1}} \le 0.\)

Решим неравенство методом интервалов.

Нули числителя: \({7^x}-50 = 0\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,{7^x} = {7^{{{\log }_7}50}}\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,x = {\log _7}50.\)

Нули знаменателя: \({7^x}-1 = 0\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,{7^x} = {7^0}\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,x = 0.\)

Следовательно, решение исходного неравенства \(x\, \in \,\left( {0;{{\log }_7}50} \right].\)

Целые решения: 1, 2. Их количество равно 2.

Ответ: 2.