Чтобы прямая \(y = x + 7\) была касательной (в какой-либо точке) к графику функции \(y = {x^3}-4{x^2} + 6x + 5\), производная от неё должна быть равна угловому коэффициенту касательной, то есть, 1 (коэффициент перед x):
\(y’ = {\left( {{x^3}-4{x^2} + 6x + 5} \right)^\prime } = 3{x^2}-8x + 6\)
\(3{x^2}-8x + 6 = 1\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,3{x^2}-8x + 5 = 0\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1,\,\,}\\{x = \dfrac{5}{3}.}\end{array}} \right.\)
Проверим, какая из найденных точек действительно является точкой касания. Для этого найдём значение прямой \(y = -2x + 6\) и функции \(y = {x^3}-3{x^2} + x + 5\) в точках \(x = 1\) и \(x = \dfrac{5}{3}:\)
\(y\left( 1 \right) = 1 + 7 = 8;\,\,\,\,y\left( 1 \right) = {1^3}-4 \cdot {1^2} + 6 \cdot 1 + 5 = 8\)
\(y\left( {\frac{5}{3}} \right) = \dfrac{5}{3} + 7 = \dfrac{{26}}{3};\,\,\,\,\,y\left( {\dfrac{5}{3}} \right) = {\left( {\dfrac{5}{3}} \right)^3}-4 \cdot {\left( {\dfrac{5}{3}} \right)^2} + 6 \cdot \dfrac{5}{3} + 5 = \dfrac{{230}}{{27}}.\)
Так как найденные значения равны в точке \(x = 1\), то она является искомой точкой касания.
Ответ: 1.