Чтобы прямая \(y = -6x + 15\) была касательной (в какой-либо точке) к графику функции \(y = {x^3} + 9{x^2} + 9x-10\), производная от неё должна быть равна угловому коэффициенту касательной, то есть, \(-6\) (коэффициент перед x):
\(y’ = {\left( {{x^3} + 9{x^2} + 9x-10} \right)^\prime } = 3{x^2} + 18x + 9\)
\(3{x^2} + 18x + 9 = -6\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,{x^2} + 6x + 5 = 0\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = -1,}\\{x = -5.}\end{array}} \right.\)
Проверим, какая из найденных точек действительно является точкой касания. Для этого найдём значение прямой \(y = -6x + 15\) и функции \(y = {x^3} + 9{x^2} + 9x-10\) в точках \(x = -1\) и \(x = -5:\)
\(y\left( {-1} \right) = 6 + 15 = 21;\,\,\,\,y\left( {-1} \right) = {\left( {-1} \right)^3} + 9 \cdot {\left( {-1} \right)^2} + 9 \cdot \left( {-1} \right)-10 = -11\)
\(y\left( {-5} \right) = 30 + 15 = 45;\,\,\,\,\,y\left( {-5} \right) = {\left( {-5} \right)^3} + 9 \cdot {\left( {-5} \right)^2} + 9 \cdot \left( {-5} \right)-10 = 45.\)
Так как найденные значения равны в точке \(x = -5\), то она является искомой точкой касания.
Ответ: \(-5.\)