Уравнение касательной. Задача 23

Задача 23. На рисунке изображены график функции \(y = f\left( x \right)\) и касательная к нему в точке с абсциссой \({x_0}\). Найдите значение производной функции \(f\left( x \right)\) в точке \({x_0}\)

Ответ

ОТВЕТ: -1.

Решение

Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной, который в свою очередь равен тангенсу угла наклона данной касательной к оси абсцисс. Построим прямоугольный треугольник с вершинами в точках \(A\left( {0;\,-4} \right),\,\,B\left( {-3;\,-4} \right),\,\,C\left( {-3;\,-1} \right)\) (см. рисунок). Угол наклона касательной к оси абсцисс будет равен углу, смежному углу CAB. Поэтому:

\(f’\left( {{x_0}} \right) = {\rm{tg}}\left( {{{180}^\circ }-\angle CAB} \right) = -{\rm{tg}}\angle CAB = -\dfrac{{CB}}{{AB}} = -\dfrac{3}{3} = -1.\)

Ответ: –1.