Уравнение касательной. Задача 25

Задача 25. На рисунке изображен график функции \(y = f\left( x \right)\). Прямая, проходящая через начало координат, касается графика этой функции в точке с абсциссой 10. Найдите значение производной функции в точке \({x_0} = 10\).

Ответ

ОТВЕТ: -0,6.

Решение

Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной, который в свою очередь равен тангенсу угла наклона данной касательной к оси абсцисс. Построим прямую, проходящую через начала координат \(\left( {0;\,0} \right)\) и точку \(\left( {10;\,-6} \right)\), а также прямоугольный треугольник с вершинами в точках \(A\left( {10;\,-6} \right),\,\,B\left( {0;\,-6} \right),\,\,C\left( {0;\,0} \right)\) (см. рисунок). Угол наклона касательной к оси абсцисс будет равен углу, смежному углу CAB. Поэтому:

\(f’\left( {{x_0}} \right) = {\rm{tg}}\left( {{{180}^\circ }-\angle CAB} \right) = -{\rm{tg}}\angle CAB = -\dfrac{{CB}}{{AB}} = -\dfrac{6}{{10}} = -0,6.\)

Ответ: -0,6.