Уравнение касательной. Задача 29

ОТВЕТ: -14.

1 способ

Чтобы прямая \(y = 2x-1\)  была касательной (в какой-либо точке) к графику функции \(y = 16{x^2} + b\,x + 3\), производная от неё должна быть равна угловому коэффициенту, то есть, 2  (коэффициент перед x):

\(y’ = {\left( {16{x^2} + b\,x + 3} \right)^\prime } = 32x + b\)

\(32x + b = 2\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,x = \dfrac{{2-b}}{{32}}.\)

Найденное значение является абсциссой точки касания. Так как через точку касания проходит и касательная \(y = 2x-1\) и функция \(y = 16{x^2} + b\,x + 3\), то их значения в этой точке должны быть равны:

\(16 \cdot {\left( {\dfrac{{2-b}}{{32}}} \right)^2} + b \cdot \dfrac{{2-b}}{{32}} + 3 = 2 \cdot \dfrac{{2-b}}{{32}}-1\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\dfrac{{4-4b + {b^2}}}{{64}} + \dfrac{{2b-{b^2}}}{{32}} = \dfrac{{2-b}}{{16}}-4\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,{b^2}-4b-252 = 0\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,{b_1} = -14;\,\,\,{b_2} = 18.\)

При \({b_1} = -14\) абсцисса точки касания  \(x = \dfrac{{2 + 14}}{{32}} = \dfrac{1}{2} > 0\), а при \({b_2} = 18\) –  \(x = \dfrac{{2-18}}{{32}} = -\dfrac{1}{2} < 0\). По условию абсцисса точки касания должна быть больше 0. Следовательно, искомое значение b равно \(-14\).

Ответ: \(-14\).

2 способ

Так как прямая \(y = 2x-1\) является касательной к функции \(y = 16{x^2} + b\,x + 3\), которая является параболой, то система уравнений  \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{y = 2x-1,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{y = 16{x^2} + b\,x + 3}\end{array}} \right.\)  должна иметь 1 решение:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{y = 2x-1,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{y = 16{x^2} + bx + 3}\end{array}} \right.\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,16{x^2} + bx + 3 = 2x-1\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,16{x^2} + \left( {b-2} \right)x + 4 = 0.\)

Полученное квадратное уравнение будет иметь 1 решение, если дискриминант будет равен 0:

\(D = {\left( {b-2} \right)^2}-256 = 0\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,{b_1} = -14;\,\,\,\,\,{b_2} = 18.\)

Если \({b_1} = -14\), то \(16{x^2}-16x + 4 = 0\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,x = \dfrac{1}{2}\),  а  при \({b_2} = 18\) получим \(16{x^2} + 16x + 4 = 0\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,x = -\dfrac{1}{2}\). По условию абсцисса точки касания должна быть больше 0. Следовательно, искомое значение b равно \(-14\).

Ответ: \(-14\).