Уравнение касательной. Задача 30

ОТВЕТ: 21.

1 способ

Чтобы прямая \(y = 9x + 5\)  была касательной (в какой-либо точке) к графику функции \(y = 18{x^2} + b\,x + 7\), производная от неё должна быть равна угловому коэффициенту, то есть, 9  (коэффициент перед x):

\(y’ = {\left( {18{x^2} + b\,x + 7} \right)^\prime } = 36x + b\)

\(36x + b = 9\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,x = \dfrac{{9-b}}{{36}}.\)

Найденное значение является абсциссой точки касания. Так как через точку касания проходит и касательная \(y = 9x + 5\) и функция \(y = 18{x^2} + b\,x + 7\), то их значения в этой точке должны быть равны:

\(18 \cdot {\left( {\dfrac{{9-b}}{{36}}} \right)^2} + b \cdot \dfrac{{9-b}}{{36}} + 7 = 9 \cdot \dfrac{{9-b}}{{36}} + 5\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\dfrac{{81-18b + {b^2}}}{{72}} + \dfrac{{9b-{b^2}}}{{36}} = \dfrac{{9-b}}{4}-2\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,{b^2}-18b-63 = 0\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,{b_1} = -3;\,\,\,{b_2} = 21.\)

При \({b_1} = -3\) абсцисса точки касания  \(x = \dfrac{{9 + 3}}{{36}} = \dfrac{1}{3} > 0\), а при \({b_2} = 21\) –  \(x = \dfrac{{9-21}}{{36}} = -\dfrac{1}{3} < 0\). По условию абсцисса точки касания должна быть меньше 0. Следовательно, искомое значение b равно 21.

Ответ: 21.

2 способ

Так как прямая \(y = 9x + 5\) является касательной к функции \(y = 18{x^2} + b\,x + 7\), которая является параболой, то система уравнений  \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{y = 9x + 5,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{y = 18{x^2} + b\,x + 7}\end{array}} \right.\)  должна иметь 1 решение:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{y = 9x + 5,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{y = 18{x^2} + bx + 7}\end{array}} \right.\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,18{x^2} + bx + 7 = 9x + 5\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,18{x^2} + \left( {b-9} \right)x + 2 = 0.\)

Полученное квадратное уравнение будет иметь 1 решение, если дискриминант будет равен 0:

\(D = {\left( {b-9} \right)^2}-144 = 0\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,{b_1} = -3;\,\,\,\,\,{b_2} = 21.\)

Если \({b_1} = -3\), то \(18{x^2}-12x + 2 = 0\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,x = \dfrac{1}{3}\),  а  при \({b_2} = 21\) получим \(18{x^2} + 12x + 2 = 0\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,x = -\dfrac{1}{3}\). По условию абсцисса точки касания должна быть меньше 0. Следовательно, искомое значение b равно 21.

Ответ: 21.