Уравнение касательной. Задача 36

ОТВЕТ: \(y = -x + 1.\)

\(y = \dfrac{{x-1}}{{x-2}}\),  \({x_0} = 1\)

Уравнение касательной:  \(y = f’\left( {{x_0}} \right)\left( {x-{x_0}} \right) + f\left( {{x_0}} \right).\)

\(f\left( x \right) = \dfrac{{x-1}}{{x-2}};\)   \(f\left( 1 \right) = \dfrac{{1-1}}{{1-2}} = 0;\)

\(f’\left( x \right) = \dfrac{{{{\left( {x-1} \right)}^\prime }\left( {x-2} \right)-\left( {x-1} \right) \cdot {{\left( {x-2} \right)}^\prime }}}{{{{\left( {x-2} \right)}^2}}} = \dfrac{{x-2-x + 1}}{{{{\left( {x-2} \right)}^2}}} = -\dfrac{1}{{{{\left( {x-2} \right)}^2}}};\)

\(f’\left( 1 \right) = -\dfrac{1}{{{{\left( {1-2} \right)}^2}}} = -1.\)

Тогда уравнение касательной будет иметь вид:

\(y = -1 \cdot \left( {x-1} \right) + 0\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,y = -x + 1.\)

Ответ: \(y = -x + 1\).