Уравнение касательной. Задача 37

ОТВЕТ: \(y = -x + \dfrac{\pi }{6} + \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}.\)

\(y = \cos \left( {2x-\dfrac{{\rm{\pi }}}{6}} \right)\),  \({x_0} = \dfrac{{\rm{\pi }}}{6}\)

Уравнение касательной:  \(y = f’\left( {{x_0}} \right)\left( {x-{x_0}} \right) + f\left( {{x_0}} \right).\)

\(f\left( x \right) = \cos \left( {2x-\dfrac{{\rm{\pi }}}{6}} \right);\)  \(f\left( {\dfrac{{\rm{\pi }}}{6}} \right) = \cos \left( {2 \cdot \dfrac{{\rm{\pi }}}{6}-\dfrac{{\rm{\pi }}}{6}} \right) = \cos \dfrac{{\rm{\pi }}}{6} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2};\)

\(f’\left( x \right) = -2\sin \left( {2x-\dfrac{\pi }{6}} \right);\) \(f’\left( {\dfrac{\pi }{6}} \right) = -2\sin \left( {2 \cdot \dfrac{{\rm{\pi }}}{6}-\dfrac{{\rm{\pi }}}{6}} \right) = -2\sin \dfrac{{\rm{\pi }}}{6} = -1.\)

Тогда уравнение касательной будет иметь вид:

\(y = -1\left( {x-\dfrac{{\rm{\pi }}}{6}} \right) + \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,y = -x + \dfrac{{\rm{\pi }}}{6} + \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\)

Ответ: \(y = -x + \dfrac{{\rm{\pi }}}{6} + \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\).