\(y = -{x^2}-2\), \(y = 4x + 1\)
Так как касательная параллельна прямой \(y = 4x + 1\), то они имеют одинаковые угловые коэффициенты: \(k = 4\). Известно, что: \(f’\left( {{x_0}} \right) = k.\)
\(f\left( x \right) = -{x^2}-2\); \(f’\left( x \right) = {\left( {-{x^2}-2} \right)^\prime } = -2x.\)
\(f’\left( {{x_0}} \right) = k\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,-2{x_0} = 4\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,{x_0} = -2.\)
Уравнение касательной: \(y = f’\left( {{x_0}} \right)\left( {x-{x_0}} \right) + f\left( {{x_0}} \right).\)
\(f\left( {{x_0}} \right) = f\left( {-2} \right) = -{\left( {-2} \right)^2}-2 = -6.\)
Тогда уравнение касательной будет иметь вид:
\(y = 4\left( {x + 2} \right)-6\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,y = 4x + 2.\)
Ответ: \(y = 4x + 2\).