\(y = {x^2}-4x + 3\), \(y = 3x-5\)
Так как касательная параллельна прямой \(y = 3x-5\), то они имеют одинаковые угловые коэффициенты: \(k = 3\). Известно, что: \(f’\left( {{x_0}} \right) = k.\)
\(f\left( x \right) = {x^2}-4x + 3\); \(f’\left( x \right) = {\left( {{x^2}-4x + 3} \right)^\prime } = 2x-4.\)
\(f’\left( {{x_0}} \right) = k\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,2{x_0}-4 = 3\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,{x_0} = \dfrac{7}{2}.\)
Уравнение касательной: \(y = f’\left( {{x_0}} \right)\left( {x-{x_0}} \right) + f\left( {{x_0}} \right).\)
\(f\left( {{x_0}} \right) = f\left( {\dfrac{7}{2}} \right) = {\left( {\dfrac{7}{2}} \right)^2}-4 \cdot \dfrac{7}{2} + 3 = \dfrac{5}{4}.\)
Тогда уравнение касательной будет иметь вид:
\(y = 3\left( {x-3,5} \right) + 1,25\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,y = 3x-9,25.\)
Ответ: \(y = 3x-9,25\).