Задача 47. При каких значениях параметра a касательная, проведенная к графику функции \(\,y = \frac{{{x^2}-3\,x + a}}{{{x^2}}}\,\) в точке с абсциссой \({x_0} = 2\), образует с осью абсцисс угол \({45^ \circ }\)?
Решение
Известно, что: \(f’\left( {{x_0}} \right) = {\mathop{\rm tg}\nolimits} \alpha .\)
\(f\left( x \right) = \frac{{{x^2}-3x + a}}{{{x^2}}} = 1-\frac{3}{x} + \frac{a}{{{x^2}}};\,\,\,\,\,f’\left( x \right) = {\left( {1-\frac{3}{x} + \frac{a}{{{x^2}}}} \right)^\prime } = \frac{3}{{{x^2}}}-\frac{{2a}}{{{x^3}}}.\)
Тогда:
\(f’\left( {{x_0}} \right) = {\mathop{\rm tg}\nolimits} \alpha \,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\frac{3}{{{2^2}}}-\frac{{2a}}{{{2^3}}} = {\rm{tg}}{45^ \circ }\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\frac{3}{4}-\frac{a}{4} = 1\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,a = -1.\)
Ответ: \(-1\).