\(f\left( x \right) = {x^2};\,\,\,\,\,f’\left( x \right) = {\left( {{x^2}} \right)^\prime } = 2x.\)
Уравнение касательной: \(y = f’\left( {{x_0}} \right)\left( {x-{x_0}} \right) + f\left( {{x_0}} \right),\) то есть \(y = 2{x_0}\left( {x-{x_0}} \right) + {x_0}^2\).
Так как касательная проходит через точку с координатами \(\left( {0;-2} \right),\) то:
\(-2 = 2{x_0}\left( {0-{x_0}} \right) + x_0^2\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,-2 = -2x_0^2 + x_0^2\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,{x_0} = \pm \sqrt 2 .\)
\(f’\left( {\sqrt 2 } \right) = {\rm{tg}}\alpha \,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,2\sqrt 2 = {\rm{tg}}\alpha \,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\alpha = {\rm{arctg}}\sqrt 8 .\)
\(\beta = \frac{{\rm{\pi }}}{2}-{\rm{arctg}}\sqrt 8 .\)
Тогда угол между касательными равен: \(2\beta = 2\left( {\frac{{\rm{\pi }}}{2}-{\rm{arctg}}\sqrt 8 } \right) = {\rm{\pi }}-2{\rm{arctg}}\sqrt 8 .\)
Ответ: \({\rm{\pi }}-2{\rm{arctg}}\sqrt 8 .\)