Исследование функций на монотонность и экстремумы. Задача 10math100admin44242024-07-17T22:31:43+03:00
Задача 10. На рисунке изображен график \(y = f’\left( x \right)\) — производной функции \(f\left( x \right)\), определенной на интервале \(\left( {-5;15} \right)\). Найдите количество точек минимума функции \(f\left( x \right)\), принадлежащих отрезку \(\left[ {-4;\;11} \right]\).
Решение
Значение производной \(f’\left( x \right)\) в точках максимума и минимума функции \(f\left( x \right)\) равно нулю. При этом в точках максимума производная меняет знак с «+» на «-», а в точках минимума с «-» на «+». Следовательно, для нахождения количества точек минимума необходимо найти количество нулевых значений производной при переходе через которые знак производной меняется с «-» на «+». В данном случае на отрезке \(\left[ {-4;\,11} \right]\) производная равна нулю в точках \(x = -3,\,\,x = 5,\,\,x = 9\) (выделены красным цветом см. рисунок). На промежутках \(\left[ {-4;\,-3} \right]\) и \(\left[ {5;\,9} \right]\) график производной расположен выше оси Ox, следовательно, производная принимает неотрицательные значения, а на промежутках \(\left[ {-3;\,5} \right]\) и \(\left[ {9;\,11} \right]\) график производной расположен ниже оси Ox, следовательно, производная принимает неположительные значения. Таким образом, производная меняет знак с «-» на «+» только при переходе через точку \(x = 5\), поэтому функция имеет 1 точку минимума.
Ответ: 1.