Область определения функции: \(x\, \in \,\left[ {0;\infty } \right).\)
Воспользуемся тем, что \(x\sqrt x = {x^1} \cdot {x^{\frac{1}{2}}} = {x^{1 + \frac{1}{2}}} = {x^{\frac{3}{2}}}.\)
Тогда: \(y = \dfrac{4}{3}{x^{\frac{3}{2}}}-10x.\)
Найдём производную заданной функции:
\(y’ = \dfrac{4}{3} \cdot \dfrac{3}{2} \cdot {x^{\frac{1}{2}}}-10 = 2\sqrt x -10.\)
Найдём нули производной:
\(2\sqrt x -10 = 0\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\sqrt x = 5\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,x = 25.\)
Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции:
Следовательно, точка минимума \(x = 25.\)
Ответ: 25.