Область определения функции: \(x\, \in \,\left[ {0;\infty } \right).\)
Воспользуемся тем, что \(x\sqrt x = {x^1} \cdot {x^{\frac{1}{2}}} = {x^{1 + \frac{1}{2}}} = {x^{\frac{3}{2}}}.\)
Тогда: \(y = -\dfrac{2}{3}{x^{\frac{3}{2}}} + 12x + 6.\)
Найдём производную заданной функции:
\(y’ = -\dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{3}{2} \cdot {x^{\frac{1}{2}}} + 12 = -\sqrt x + 12.\)
Найдём нули производной:
\(-\sqrt x + 12 = 0\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\sqrt x = 12\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,x = 144.\)
Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции:
Следовательно, точка максимума \(x = 144.\)
Ответ: 144.