Область определения функции: \(x\, \in \,R.\)
Найдём производную заданной функции:
\(y’ = {\left( {2{x^2}-24x + 24} \right)^\prime }{e^{x-24}} + \left( {2{x^2}-24x + 24} \right){\left( {{e^{x-24}}} \right)^\prime } = \)
\( = \left( {4x-24} \right){e^{x-24}} + \left( {2{x^2}-24x + 24} \right){e^{x-24}} = \)
\( = \left( {4x-24 + 2{x^2}-24x + 24} \right){e^{x-24}} = \left( {2{x^2}-20x} \right){e^{x-24}}.\)
Найдём нули производной:
\(\left( {2{x^2}-20x} \right){e^{x-24}} = 0\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{2{x^2}-20x = 0,}\\{{e^{x-24}} = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\end{array}\,\,} \right.\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0,\,\,\,\,}\\{x = 10.\,\,}\end{array}} \right.\)
Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции:
Следовательно, точка минимума \(x = 10.\)
Ответ: 10.