Область определения функции: \(x\, \in \,R.\)
Найдём производную заданной функции:
\(y’ = {\left( {{{\left( {x-7} \right)}^2}} \right)^\prime }{e^{x-6}} + {\left( {x-7} \right)^2}{\left( {{e^{x-6}}} \right)^\prime } = 2\left( {x-7} \right){e^{x-6}} + {\left( {x-7} \right)^2}{e^{x-6}} = \)
\( = {e^{x-6}}\left( {x-7} \right)\left( {2 + x-7} \right) = {e^{x-6}}\left( {x-7} \right)\left( {x-5} \right).\)
Найдём нули производной:
\({e^{x-6}}\left( {x-7} \right)\left( {x-5} \right) = 0\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{e^{x-6}} = 0,\,\,}\\{x-7 = 0,}\\{x-5 = 0\,\,}\end{array}} \right.\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 7,}\\{x = 5.}\end{array}} \right.\)
Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции:
Следовательно, точка минимума \(x = 7.\)
Ответ: 7.