Область определения функции: \(x\, \in \,R.\)
Найдём производную заданной функции:
\(y’ = {\left( {{{\left( {x + 3} \right)}^2}} \right)^\prime }{e^{2-x}} + {\left( {x + 3} \right)^2}{\left( {{e^{2-x}}} \right)^\prime } = 2\left( {x + 3} \right){e^{2-x}} + {\left( {x + 3} \right)^2}{e^{2-x}} \cdot {\left( {2-x} \right)^\prime } = \)
\( = 2\left( {x + 3} \right){e^{2-x}}-{\left( {x + 3} \right)^2}{e^{2-x}} = {e^{2-x}}\left( {x + 3} \right)\left( {2-x-3} \right) = {e^{2-x}}\left( {x + 3} \right)\left( {-x-1} \right).\)
Найдём нули производной:
\({e^{2-x}} \cdot \left( {x + 3} \right)\left( {-x-1} \right) = 0\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{e^{2-x}} = 0,\,\,\,}\\{x + 3 = 0,}\\{-x-1 = 0}\end{array}} \right.\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = -3,}\\{x = -1.}\end{array}} \right.\)
Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции:
Следовательно, точка максимума \(x = -1.\)
Ответ: \(-1.\)